Астанов является воспитанником футбольной школы «Ордабасы».

Эльхан Астанов начал сезон-2025 в составе «Астаны», где провёл 12 матчей и забил 1 мяч. В июле футболист на правах аренды перешёл в «Ордабасы», за который сыграл 11 встреч, отметился 6 голами и 1 результативной передачей. По завершении сезона вернулся в столичный клуб.