Неманья начал свою профессиональную карьеру в составе черногорского клуба «Зета», где выступал как воспитанник. В 2018 году Чавнич перебрался в Данию, где защищал цвета клубов первой лиги – «Фремад Амагер» и «ХБ Кёге».

В феврале 2024 года он перешёл в боснийский клуб «Железничар». За год в Премьер-лиге Боснии и Герцеговины стал важной частью обороны команды.

В общей сложности за карьеру Цавнич провёл более 330 матчей и забил 8 голов. Также он выступал за молодёжную сборную Черногории.