Андрей Демченко родился в 1976 году в украинском городе Запорожье. Футбольную карьеру начал в местном «Металлурге», после чего играл за дублирующий состав московского ЦСКА.

В 1994 году, после юношеского чемпионата Европы, подписал контракт с амстердамским «Аяксом» под руководством Луи ван Гала. Таким образом, Демченко стал одним из первых молодых украинцев, заключивших соглашение с топ-клубом Европы. В составе «Аякса» стал обладателем Суперкубка УЕФА и Межконтинентального кубка в сезоне 1995 года.

После завершения контракта вернулся в родной «Металлург», а также выступал за украинские клубы «Ильичёвец», «Оболонь», «Гелиос» и молдавский клуб «Дачия».

Тренерскую карьеру начал в 2012 году в «Металлурге» в качестве ассистента. В дальнейшем работал главным тренером таких клубов, как «Обод», «Верес», «Львов» и «Металлист 1925». В 2021 году возглавил грузинскую «Дилу», с которой дважды завоёвывал бронзовые медали чемпионата Грузии и был признан лучшим тренером сезона. Затем возглавил «Динамо» Батуми, с которым в 2023 году стал чемпионом Грузии.