В составе национальной сборной Казахстана Исламбек Куат дебютировал 3 сентября 2015 года, в Пльзене, в отборочном матче Чемпионата Европы против сборной Чехии (1:2). Он вышел в стартовом составе и отыграл весь матч.

Матч против сборной Фарерских островов стал для Исламбека Куата 74-м в составе сборной Казахстана. В этих матчах он забил шесть мячей.

Рекордсмены сборной Казахстана 1992-2026 (на 27.09.2026):

1. Самат Смаков – 76 матчей;

2. Сергей Малый – 75; 

3. Исламбек Куат – 74;

4. Руслан Балтиев – 73;

5-6. Асхат Тагыберген – 65;

5-6. Ян Вороговский – 65.